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アルキメデスの墓石に記された球と円柱の美しい関係

投稿日:

 

どうも!

ピカチュウになりたいヤベチュウです!

 

「問題を解いてみよう」シリーズの第5弾が、ディオファントスの墓についてだったので、お墓つながりで今回はアルキメデスの墓についてです。

【問題を解いてみよう 5】ディオファントスの墓に書かれた問題

 

アルキメデスの墓石には、円柱に球が内接している図が描かれていたそうです。

そんな球と円柱にはとても美しい関係があるんです!

ビックリしますよ!

 

以下では、円柱に内接して球及び円錐を考えていきます。

 

 

円柱と球

 

半径を \(r\) 、高さを \(2r\) とする。

 

まずは体積の比を見てみましょう!( ^∀^)

球の体積

\(\large\frac{4}{3}\times\pi\times半径\times半径\times半径\)

\(\large=\frac{4}{3}\times\pi\times{r}\times{r}\times{r}\)

\(\large=\frac{4}{3}\pi{r^3}\)

 

 

円柱の体積

\(\large\pi\times半径\times半径\times高さ\)

\(\large=\pi\times{r}\times{r}\times{2r}\)

\(\large=2\pi{r^3}\)

 

 

球の体積:円柱の体積

\(\large=\frac{4}{3}\pi{r^3}:2\pi{r^3}\)

\(\large=\frac{4}{3}:2\)

\(\large=4:6\)

\(\large=2:3\)

 

とてもキレイな整数比になりましたね!

 

 

次に表面積の比についても見てみましょう!( ^∀^)

球の表面積

\(\large4\times\pi\times半径\times半径\)

\(\large=4\times\pi\times{r}\times{r}\)

\(\large=4\pi{r^2}\)

 

円柱の表面積

\(\large底面積\times2+側面積\)

\(\large=(\pi\times{r}\times{r})\times2+\pi\times{2r}\times{2r}\)

\(\large=2\pi{r^2}+4\pi{r^2}\)

\(\large=6\pi{r^2}\)

 

 

球の表面積:円柱の表面積

\(\large=4\pi{r^2}:6\pi{r^2}\)

\(\large=4:6\)

\(\large=2:3\)

 

なんと!

表面積の比もキレイな整数比になりましたね!

しかも、先程と同じ値になりました!

 

 

アルキメデスさんは円周率の計算をした方でもあります。

球の体積・表面積と円柱の体積・表面積には、共に円周率が含んでいるにも関わらず、こんなにも美しい比が現れたことに感動したに違いありません。

なので、自分のお墓に球と円柱の図形を刻んだのではないでしょうか。

 

個人的にも、とても美しい関係にあると感じます。

 

 

 

円錐

円錐の体積と表面積についても見ていきましょう。

半径を \(r\) 、高さを \(2r\) とする。

円錐の体積

\(\large\frac{1}{3}\times\pi\times半径\times半径\times高さ\)

\(\large=\frac{1}{3}\times\pi\times{r}\times{r}\times{2r}\)

\(\large=\frac{2}{3}\pi{r^3}\)

 

円錐の体積:球の体積:円柱の体積

\(\large=\frac{2}{3}\pi{r^3}:\frac{4}{3}\pi{r^3}:2\pi{r^3}\)

\(\large=\frac{2}{3}:\frac{4}{3}:2\)

\(\large=2:4:6\)

\(\large=1:2:3\)

 

これまたキレイな整数比!

では、表面積はどうでしょう。

 

 

円錐の表面積

\(\large\pi\times半径\times(母線+半径)\)

\(\large=\pi\times{r}\times(\sqrt{5}r+{r})\)

\(\large=(\sqrt{5}+1)\pi{r^2}\)

 

 

円錐の表面積:球の表面積:円柱の表面積

\(\large=(\sqrt{5}+1)\pi{r^2}:4\pi{r^2}:6\pi{r^2}\)

\(\large=(\sqrt{5}+1):4:6\)

\(\large=\frac{\sqrt{5}+1}{2}:2:3\)

 

あれ!?

整数比になりませんでしたね。

でも、\(\large\frac{\sqrt{5}+1}{2}\) という値をどこかで見たことありませんか?

 

そう!

黄金比(黄金数)です!

整数比にはなりませんでしたが、これはこれで面白い結果になりましたね!

 

 

まとめ

アルキメデスさんがどんなに感動したのかが、少しわかったような気がしますね!

 

僕のお墓には何を刻んでもらおうかな( ̄∀ ̄)

やはり、ピカチュウかな!

 

少しでも数学というものに興味を持ってくれたら嬉しいです!

最後までありがとうございました!

 

【問題を解いてみよう 5】ディオファントスの墓に書かれた問題

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