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【ルートの中にルート】二重根号の外し方と基本パターン

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こんにちは、ヤベチュウです。

最近、二重根号を教えてほしいと言われたので

今回の記事では二重根号の外し方とよくあるパターンについてご紹したいと思います。

 

ルートの中にルート(゚д゚lll)

$$\Large\sqrt{5+2\sqrt{6}}$$

 

なんと奇妙で難しそうな数式なんでしょう(O_O)

 

 

二重根号の公式

  • \(a > 0 , b > 0\) のとき

$$\Large\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

 

 

  • \(a > b > 0\) のとき

$$\Large\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$

 

 

二重根号の基本パターン

基本問題

(1)\(\sqrt{5+2\sqrt{6}}\)

足して5、掛けて6 になる2つの自然数は 2 と 3 です。

\(\begin{eqnarray} \sqrt{5+2\sqrt{6}} &=& \sqrt{(3+2)+2\sqrt{3\times2}} \\ &=& \sqrt{3}+\sqrt{2} \end{eqnarray}\)

 

答えは、\(\sqrt{3}+\sqrt{2}\)

 

 

(2)\(\sqrt{7-2\sqrt{10}}\)

足して 7、掛けて 10 になる2つの自然数は 2 と 5 です。

\(\begin{eqnarray} \sqrt{7-2\sqrt{10}} &=& \sqrt{(5+2)-2\sqrt{5\times2}} \\ &=& \sqrt{5}-\sqrt{2} \end{eqnarray}\)

 

答えは、\(\sqrt{5}-\sqrt{2}\)

 

 

2 を作り出す

(1)\(\sqrt{6+\sqrt{20}}\)

まずは、\(\sqrt{(a+b)+\color{red}2\sqrt{ab}}\) の形にする。

\(\sqrt{20}=\color{red}2\sqrt{5}\) なので、

\(\begin{eqnarray} \sqrt{6+\sqrt{20}} &=& \sqrt{6+\color{red}2\sqrt{5}} \\ &=& \sqrt{(5+1)+2\sqrt{5\times1}} \\ &=& \sqrt{5}+\sqrt{1} \\ &=& \sqrt{5}+1 \end{eqnarray}\)

 

答えは、\(\sqrt{5}+1\)

 

 

(2)\(\sqrt{11+6\sqrt{2}}\)

まずは、\(\sqrt{(a+b)+\color{red}2\sqrt{ab}}\) の形にする。

\(6\sqrt{2}=\color{red}2\sqrt{18}\) なので、

\(\begin{eqnarray} \sqrt{11+6\sqrt{2}} &=& \sqrt{11+\color{red}2\sqrt{18}} \\ &=& \sqrt{(9+2)+2\sqrt{9\times2}} \\ &=& \sqrt{9}+\sqrt{2} \\ &=& 3+\sqrt{2} \end{eqnarray}\)

 

答えは、\(3+\sqrt{2}\)

 

 

無理矢理 2 を作り出す

(1)\(\sqrt{6+\sqrt{35}}\)

\(\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}\) の形にしたいが、

\(\sqrt{35}\) は \(2\sqrt{A}\) にならない((;゚Д゚))))

 

そこで、問題の式に \(\large\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\) (=1) を掛けます。

\(\sqrt{6+\sqrt{35}}\times\large\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\large\frac{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}}\)

 

あとは分子の二重根号を外して、分母の有理化をすればOK!

\(\begin{eqnarray} \frac{\sqrt{12+2\sqrt{35}}}{\sqrt{2}} &=& \frac{\sqrt{(7+5)+2\sqrt{7\times5}}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{2}} \\ &=& \frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2} \end{eqnarray}\)

 

答えは、\(\large\frac{\sqrt{14}+\sqrt{10}}{2}\)

 

 

数字が大きい

(1)\(\sqrt{28+2\sqrt{187}}\)

このように数字が大きくて、わからない場合には2次方程式を用いると良い。

足して 28、掛けて 187 になる2つの自然数を見つけるのは難しいので、

解と係数の関係より、\(x^2-28x+187=0\) を考える。

解の公式より、

\(\begin{eqnarray} x &=& \frac{-(-28)\pm\sqrt{28^2-4\times1\times187}}{2\times1} \\ &=& 17 , 11 \end{eqnarray}\)

 

したがって、

\(\begin{eqnarray} \sqrt{28+2\sqrt{187}} &=& \sqrt{(17+11)+2\sqrt{17\times11}} \\ &=& \sqrt{17}+\sqrt{11} \end{eqnarray}\)

 

答えは、\(\sqrt{17}+\sqrt{11}\)

 

 

まとめ

二重根号の問題が出る機会は少ないですが、試験では少しでも多くの点を取ることが重要なので、出た時には必ず解けるように練習しておきましょう。

解く時は「2」が付いている形に変形することを意識!

  • \(a > 0 , b > 0\) のとき

$$\large\sqrt{(a+b)+2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$$

 

  • \(a > b > 0\) のとき

$$\large\sqrt{(a+b)-2\sqrt{ab}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}$$

 

最後までありがとうございました。

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