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【中学数学】乗法公式を面積図を使って解釈してみる

更新日:

こんにちは!ヤベチュウです!

 

中学で習う乗法公式を覚えていますか?

正直なところ、頭に入っていなくても気合いで解けますよね( ̄▽ ̄;)

しかし!

計算スピードに大きな差が出ます!

なので、しっかりと理解をして使えるようにしましょう!

この記事では、乗法公式を面積図を用いて説明します。

結構面白いので、ぜひご覧ください!

 

 

中学校で習う乗法公式

1:\(\large(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

 

2:\(\large(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

 

3:\(\large(a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

 

4:

\(\large(x+a)(x+b)\)

\(\large=x^2+(a+b)x+ab\)

 

5:

\(\large(ax+b)(cx+d)\)

\(\large=acx^2+(ad+bc)x+bd\)

 

 

面積図を用いた解釈

どれも同じように考えることができるので、今回は

1: \(\large(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

2: \(\large(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

について面積図を用いて説明します。

 

\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

まず、一辺が \((a + b)\) の正方形を考える。

 

この正方形は

  • 一辺が \(a\) の正方形
  • 長辺が \(a\) 、短辺が \(b\) の長方形
  • 長辺が \(a\) 、短辺が \(b\) の長方形
  • 一辺が \(b\) の正方形

の4つに分割することができます。

 

それぞれの面積は

  • \(a^2\)
  • \(ab\)
  • \(ab\)
  • \(b^2\)

なので、求める面積は

 

これより、

\(\begin{eqnarray} (a+b)^2 &=& a^2+ab+ab+b^2 \\ &=& a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray}\)

 

\(\Large(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

 

 

\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

まずは、以下のような図を考えます。

 

一辺が \(a\) の正方形は

  • 一辺が \((a-b)\) の正方形
  • 長辺が \((a-b)\) 、短辺が \(b\) の長方形
  • 長辺が \((a-b)\) 、短辺が \(b\) の長方形
  • 一辺が \(b\) の正方形

の4つに分割することができます。

 

それぞれの面積は

  • \((a-b)^2\)
  • \(b(a-b)\)
  • \(b(a-b)\)
  • \(b^2\)

なので、求める面積は

 

これより、

\(\begin{eqnarray} (a-b^2) &=& a^2-b(a-b)-b(a-b)-b^2 \\ &=& a^2-ab+b^2-ab+b^2-b^2 \\ &=& a^2-2ab+b^2 \end{eqnarray}\)

 

\(\Large(a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

 

 

まとめ

乗法公式は受験でも使うので、しっかり頭に入れておきましょう!

1:\((a+b)^2=a^2+2ab+b^2\)

2:\((a-b)^2=a^2-2ab+b^2\)

3:\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)

4:

\((x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab\)

5:

\((ax+b)(cx+d)=acx^2+(ad+bc)x+bd\)

 

数学では、ただ覚えるのではなく、理解することが重要です。

いろいろな見方をするのは楽しいですし、日常生活でも物事を様々な角度から見ることは大切ですよね!

ぜひ、他の乗法公式についても面積図を用いて考えてみてください!

 

この記事が少しでも、あなたの理解の手助けができたなら、とても嬉しいです( ^∀^)

最後までありがとうございました!!

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