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【問題を解いてみよう 6】直角三角形と言えば...何だっけ?

更新日:

 

ヤベチュウです!

今回で第5弾!

この「問題を解いてみよう」シリーズで、少しでも数学に興味を持ってもらえたら超嬉しいです!

 

《問題文》→《ヒント》→《解答&解説》という構成になっています。

図形の問題で、直角三角形が出てきますよ〜( ^ω^ )

ぜひ、解いてみてくださいね!

 

 

 

《問題文》

∠BAC = 90° で、BC = \(5\sqrt{5}\)cm である直角三角形ABCがある。

辺ABを直径とする半円上に点Dを取り、線分DAの延長と辺ACを直径とする半円との交点をEとする。

次の (1)、(2) に答えてください。

(1)2つの半円の面積の和を求めてください。

(2)AD = 8cm、 BD = 6cm のとき、線分AEの長さを求めてください。

《問題文終了》

 

 

 

《ヒント》

(1)のヒント:

三平方の定理 AB2 + AC2 = BC2 を利用します。

 

(2)のヒント:

相似の関係にある三角形に注目!

《ヒント終了》

 

 

 

《解答&解説》

(1)2つの半円の面積の和を求めてください。

辺ABを直径とする半円の面積は

\(\begin{eqnarray} 半径\times半径\times\pi\ &=& \frac{AB}{2}\times\frac{AB}{2}\times\pi \\ &=& \frac{\pi}{4}AB^2 \end{eqnarray}\)

 

辺ACを直径とする半円の面積は

\(\begin{eqnarray} 半径\times半径\times\pi\ &=& \frac{AC}{2}\times\frac{AC}{2}\times\pi \\ &=& \frac{\pi}{4}AC^2 \end{eqnarray}\)

 

求めるのはこの2つの和なので、

\(\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4}AB^2+\frac{\pi}{4}AB^2 &=& \frac{\pi}{4}(AB^2+AC^2) \end{eqnarray}\) ・・・①

 

ここで、直角三角形ABCにおいて三平方の定理より

\(\begin{eqnarray} AB^2+AC^2 &=& BC^2 \end{eqnarray}\) ・・・②

 

①の式と②の式より

\(\begin{eqnarray} \frac{\pi}{4}(AB^2+AC^2) &=& \frac{\pi}{4}BC^2 \\ &=& \frac{\pi}{4}\times(5\sqrt{5})^2 \\ &=& \frac{\pi}{4}\times125 \end{eqnarray}\)

 

よって、\(\large\frac{125}{4}\pi\) cm2

 

 

(2)AD = 8cm、 BD = 6cm のとき、線分AEの長さを求めてください。

△ADBで三平方の定理を用いると、AB = 10cm

△ABCで三平方の定理を用いると、AC = 5cm

 

直径に対する円周角は直角なので

∠BDA = 90° 、∠AEC = 90°

 

三角形の外角はそれと隣り合わない2つの内角の和と等しいので

∠ABD + ∠BDA = ∠CAE + ∠BAC

∠ABD + 90° = ∠CAE + 90°

∠ABD = ∠CAE

 

△ADBと△CEAにおいて、2組の角が等しいことがわかったので

△ADB △CEA

したがって、

BD:AE = AB:CA

6:AE = 10:5

AE = 3

 

よって、3 cm

《解答&解説終了》

 

 

 

 

ポイント

  • 直角三角形があったら三平方の定理

すぐに三平方の定理を頭に思い浮かべましょう。

  • 同じ角度にはマーク

図に描いて、頭を整理することが重要です。

 

 

 

図形は視覚的に捉えることができるので、わかりやすいですね。

関数や確率でも図を描くと、頭が整理されて解きやすくなりますよ!

 

数学は面白い!

最後までありがとうございました!

 

第7弾

【数学の問題を解いてみよう 7】わかっているようでわかっていない数の世界

 

第5弾

【問題を解いてみよう 5】ディオファントスの墓に書かれた問題

 

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