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【問題を解いてみよう 8】人はどんなものに美しさを感じるのか

更新日:

 

ヤベチュウです!

問題を解いてみようの第8弾!

あなたはどんなものを美しいと感じますか?

だいぶヒントになってしまっているような気もしますが、今回はかなり有名なものですよ!

ぜひ、手を動かして解いてみてください!

 

 

問題1

問題文

長辺が \(a+b\) で、短辺が \(b\) の長方形の中に、長辺が \(b\) で、短辺が \(a\) の長方形があります。

この2つの長方形は相似の関係にあります。

このとき、\(a:b\) を求めてください。

 

 

 

ヒント

ヒント1:

\(a:b=b:(a+b)\) を考えます。

 

 

ヒント2:

\(b\) の値を \(a\) を使って表します。

 

 

 

 

解答&解説

答えは、

\(\Large a:b=1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

 

 

2つの長方形は相似の関係にあることより、対応する辺の比は等しい。

\(\color{green}a:\color{green}b=\color{red}b:\color{red}{(a+b)}\)

 

内項の積と外項の積は等しいので、

\(b^2=a(a+b)\)

\(b^2=a^2+ab\)

\(b^2-ab-a^2=0\)

 

解の公式を用いると、

\(b=\large\frac{a\pm\sqrt{a^2+4a^2}}{2}\)

\(b=\large\frac{a\pm\sqrt{5}a}{2}\)

\(b=\large\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}a\)

 

\(a>0 , b>0\) より、

\(b=\large\frac{1+\sqrt{5}}{2}a\)

 

求めるものは \(a:b\) なので、

\(a:b=a:\large\frac{1+\sqrt{5}}{2}a\)

 

よって、

\(a:b=1:\large\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

 

ちなみに、これを黄金比と言います!

美しい比率としてとても有名ですね!

 

 

問題2

問題文

2次方程式 \(x^2-nx-1=0\) の正の解を \(x_n\) とする。

次の(1)〜(3)を求めてください。

(1)\(n=1\) のときの解 \(x_1\)

(2)\(n=2\) のときの解 \(x_2\)

(3)\(n=3\) のときの解 \(x_3\)

 

 

 

ヒント

ヒントはないよ!( ^∀^)

 

 

 

 

解答&解説

(1)〜(3)を解く前に \(x_n\) を求めます。

解の公式を用いて、

\(x_n=\large\frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\)

 

あとは \(n\) に値を入れるだけ!

 

(1)\(n=1\)

\(x_1=\large\frac{1+\sqrt{1^2+4}}{2}\)

\(\Large x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)

 

 

(2)\(n=2\)

\(x_2=\large\frac{2+\sqrt{2^2+4}}{2}\)

\(x_2=\large\frac{2+\sqrt{8}}{2}\)

\(x_2=\large\frac{2+2\sqrt{2}}{2}\)

\(\Large x_2=1+\sqrt{2}\)

 

 

(3)\(n=3\)

\(x_3=\large\frac{3+\sqrt{3^2+4}}{2}\)

\(\Large x_3=\frac{3+\sqrt{13}}{2}\)

 

 

第n貴金属数

2次方程式 \(x^2-nx-1=0\) の正の解 \(x_n\) のことを\(\bf n\)貴金属数と言います。

そして今回求めた、

第1貴金属数 \(x_1=\large\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) を黄金数

第2貴金属数 \(x_2=1+\sqrt{2}\) を白銀数

第3貴金属数 \(x_3=\large\frac{3+\sqrt{13}}{2}\) を青銅数

と言います。

 

金・銀・銅となっていてネーミングがキレイですね!( ^ω^ )

 

 

まとめ

 

黄金比

$$\Large 1:\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

 

白銀比

$$\Large 1:1+\sqrt{2}$$

 

青銅比

$$\Large 1:\frac{3+\sqrt{13}}{2}$$

 

どんなところに使われているかを調べたら意外な発見があるかもしれませんよ!

最後までありがとうございました!

 

 

第7弾

【数学の問題を解いてみよう 7】わかっているようでわかっていない数の世界

 

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