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【問題を解いてみよう 9】他の解き方を模索することも数学の楽しみ!!

更新日:

ヤベチュウです!

数学楽しんでますかーーー!?

今回は問題を解いてみようシリーズの第9弾です!

なかなか面白いので、ぜひ解いてみてくださいねー!( ^∀^)

小学生までの知識で解ける問題になっています!

解説もなるべくわかりやすく書いたつもり!

 

 

問題 1

問題文

三角形ABCの面積は 何cmですか。

ただし、一目盛は 1cm とする。

 

 

 

ヒント

  • ヒント1

三角形ABCを囲うような四角形を考えると良いかも!

 

 

  • ヒント2

ヒント1で考えた四角形から、いらない部分を引けば答えだよ!( ^∀^)

 

 

 

解答&解説

答えは

\(\LARGE 26cm^2\)

 

 

まず、三角形ABCを囲うような四角形を考えます。

この四角形の面積は

\(8cm\times8cm=64cm^2\)

 

次に、いらない部分を引くために3つの三角形を考えます。

 

①の三角形の面積

\(\large8cm\times4cm\times\frac{1}{2}=16cm^2\)

 

②の三角形の面積

\(\large5cm\times4cm\times\frac{1}{2}=10cm^2\)

 

③の三角形の面積

\(\large3cm\times8cm\times\frac{1}{2}=12cm^2\)

 

 

三角形ABCの面積は、四角形から3つの三角形を引いたもの。

 

よって、

\(64cm^2-16cm^2-10cm^2-12cm^2\)

\(=26cm^2\)

 

 

問題 2

問題文

四角形ABCDと三角形EFGに挟まれた赤い部分の面積は 何cmですか。

ただし、一目盛りは1cmとする。

 

ヒント

  • ヒント1

四角形ABCDから三角形EFGを引く!

 

 

  • ヒント2

面積の求め方は、問題1と同じ!

 

 

 

解答&解説

答えは

\(\LARGE 45cm^2\)

 

 

まずは、四角形ABCDの面積を求めるために、図のような四角形を考えます。

その四角形の面積は

\(9cm\times8cm=72cm^2\)

 

いらない部分を引くために3つの三角形を考える。

 

①の三角形の面積

\(\large7cm\times2cm\times\frac{1}{2}=7cm^2\)

 

②の三角形の面積

\(\large1cm\times6cm\times\frac{1}{2}=3cm^2\)

 

③の三角形の面積

\(\large2cm\times8cm\times\frac{1}{2}=8cm^2\)

 

よって、四角形ABCDの面積は

\(72cm^2-7cm^2-3cm^2-8cm^2\)

\(=54cm^2\)

 

 

次に三角形EFGの面積を求めるために、以下のような四角形を考える。

この四角形の面積は

\(5cm\times4cm=20cm^2\)

 

いらない部分を引くために3つの三角形を考えます。

 

①の三角形の面積

\(\large4cm\times2cm\times\frac{1}{2}=4cm^2\)

 

②の三角形の面積

\(\large5cm\times2cm\times\frac{1}{2}=5cm^2\)

 

③の三角形の面積

\(\large1cm\times4cm\times\frac{1}{2}=2cm^2\)

 

よって、三角形EFGの面積は

\(20cm^2-4cm^2-5cm^2-2cm^2\)

\(=9cm^2\)

 

 

求める面積は、四角形ABCDから三角形EFGを引けば良いので

\(54cm^2-9cm^2\)

\(=45cm^2\)

 

 

もっと簡単に!

ピックの定理

「ピックの定理」というものを使うと、もっと簡単に解くことができます!

 

格子多角形(全ての頂点が格子点にある多角形)に関して、

内部にある格子点の個数を \(I\)

辺上にある格子点の個数を \(B\)

とすると、面積 \(S\) は次のような式で表される。

$$\LARGE S=I+\frac{B}{2}-1$$

 

 

問題1

三角形ABCにおいて、内部と辺上の格子点の個数は

\(I=24\)

\(B=6\)

である。

 

したがって、

\(\large\begin{eqnarray} S &=& 24+\frac{6}{2}-1 \\ &=& 26 \end{eqnarray}\)

 

\(\LARGE 26cm^2\)

 

 

問題2

四角形ABCDにおいて、内部と辺上の格子点の個数は

\(I_1=49\)

\(B_1=12\)

である。

したがって、

\(\large\begin{eqnarray} S_1 &=& 49+\frac{12}{2}-1 \\ &=& 54 \end{eqnarray}\)

 

 

次に、三角形EFGにおいて、内部と辺上の格子点の個数は

\(I_2=8\)

\(B_2=4\)

である。

したがって、

\(\large\begin{eqnarray} S_2 &=& 8+\frac{4}{2}-1 \\ &=& 9 \end{eqnarray}\)

 

よって、求める面積は

\(\large\begin{eqnarray} S &=& S_1-S_2 \\ &=& 54-9 \\ &=& 45 \end{eqnarray}\)

 

 

\(\LARGE 45cm^2\)

 

 

まとめ

いかがでしたでしょうか。

 

実は、問題2のように穴があいている場合には、もっと計算が楽になるような公式がありますよ!

いろいろ試してみて、見つけてみてくださいね!( ^ω^ )

それも数学の楽しみ方の1つです!

 

少しでも数学に興味を持っていただけたら、めちゃめちゃ嬉しいゾ( ̄∀ ̄)

最後までありがとうございました!

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